我們的這個發現將中國古代對正負數的認識與實際運用時間提早到了戰國晚期，是數學發展史研究的一大收獲。”11月13日，西北大學博士生李振飛告訴記者，神禾原戰國秦陵墓出土的象牙算籌主要有紅白籌和紅黑籌兩類顏色，這與《九章算術》劉徽注釋中提到的古代用于正負數運算的“赤黑算”也許有關，應是此類計算工具的早期形態。據了解，該研究成果的論文李振飛和陜西師范大學歷史文化學院郭妍利已經發表在刊物《考古與文物》上。

神奇彩色算籌出土于南郊神禾原

象牙算籌出土于神禾原戰國秦陵園，位于陜西省西安市長安區南郊，2004～2008年間，陜西省考古研究院在此進行了四年的發掘工作，揭露了一座由亞字形大墓、兆溝、垣墻、從葬坑、建筑基址等構成的大型戰國秦陵園遺址。陵墓雖遭嚴重的盜掘，但仍出土了較多重要文物，其中在直通大墓槨室的早期盜洞內發現一批制作精良的象牙算籌，籌身涂飾以紅、黑色彩，此類形制未見于以往的考古發現及文獻記載。

這批算籌均為象牙質地，長短、粗細幾乎完全一致。多數完整，少數有不同程度的殘斷。牙籌整體呈細圓棒狀，部分籌身兩端微收窄，表面光滑，磨制精細，兩端截面齊整。完整籌身通長為18.3～18.5厘米、直徑0.49～0.54厘米，單體重5.7～7.7克。以完整的算籌（含粘接復原的個體）以及殘余籌身長度大于完整器一半的斷籌計數。該批算籌總數至少為61根，根據籌身彩繪及加工方式的不同，這批算籌可分為素白色、紅白色、紅黑色三種類型，另有兩根殘籌無法辨識。其中素白籌僅1根；紅黑籌有28根，兩端各長3.4厘米的紅褐色漆皮，脫落嚴重，籌身中段為黑色，顏色因保存狀況不同深淺不一；紅白籌30根，中段為象牙原色，兩端為紅褐色漆皮。后兩類籌身兩端紅褐色漆皮段與中間段之間發現有一圈極細的刻槽分界線，兩部分的界限十分整齊。

中段黑色算籌

算籌的不同的顏色分別表示正負數

李振飛介紹說，原算籌作為古代生產生活的常用工具，應用廣泛而持久，早在《論語》中即有記載，也被稱為“籌”“算”“策”“筭”等。它的材質并無嚴格的規定，有竹、木、骨、牙乃至金屬籌，多在戰國晚期至東漢的墓葬中有所發現。

首先從大小來看，算籌的大小在早期多隨原材料的大小而定，后代隨著經濟和數學的發展、各類算書的出現而漸有制度，神禾原發現算籌的長度約合秦漢時期的八寸。由于算籌的材料、尺寸、形制均變化較大，不易識別，考古報告中對類似器物的叫法也有很多，比如“骨條”、“竹棍”，甚至“竹筷”、“箸”等。從算籌的數量來看，神禾原出土的30根紅白籌、28根紅黑籌具有計算意義上的實用性。

那么，如何推測出這個算籌可以計算負數？原因就是神禾原牙籌的色彩。這批牙籌最大的特征為其上的彩繪，籌身現存的涂色在視覺上表現為“紅白”與“紅黑”色。這和數學家的赤黑算十分相似，它就是用來計算正負數的工具。《九章算術》劉徽注中說“今兩算得失相反”，說明至遲在魏晉時期使用紅黑算籌來表示正負數、輔助正負數運算已成定式。

不同的顏色表示正負數，李振飛表示，這個來源自《九章算術·方程》章中關于“正負術”的記載，這是被認為是中國最早對“負數”概念進行說明和使用的珍貴文獻。魏晉時期的數學家劉徽對此注釋有：“正算赤，負算黑，否則以邪正為異。”也就是說，進行正負數的計算時，用紅色算籌代表正數，黑色算籌代表負數。而神禾原秦陵墓發現的紅、黑彩算籌很可能與劉徽提到的赤黑算有關。

原來，負數概念的出現要早于抽象化的運算法則的確立。中國古代數學史研究專家李儼認為負數的產生不晚于秦代，相應的用以表示正負數運算的算籌也應當出現在先秦時期。這時的負數記錄與使用方式與漢代算書中體系化的總結可能存在一定差異，最早的赤黑算應當就是兩類形態有差別的算籌，用于指代不同的概念。因此，神禾原秦陵墓發現的這種白黑籌的組合可能是赤黑算的早期形態，是先秦時期正負數概念形成以及運算規則探索階段的成果。

正負數概念提早至戰國

那么，這樣可以計算“正負數”的算籌當時主要用來做什么？李振飛指出，目前我國已知考古工作中最早發現的算籌實物是1954年湖南長沙左家山戰國楚墓中出土的“竹簽”，而神禾原戰國秦陵墓墓主身份十分尊貴，算籌用來進行數學計算的可能性不大，更可能是作為統治、管理者記錄其下屬的功過或者對下屬的賞罰等行為的計數工具。

不同顏色的算籌即代表實際生產生活中的“功”與“過”、“賞”與“罰”、“收”與“支”等。因而，李振飛表示，神禾原出土涂色牙籌的確可能為劉徽所記述的用于表示正負數的赤黑算的前身。它是戰國秦漢時期應用數學發展到了一定程度的產物，也促進了這一時期數學中關于正負數計算的理論化、規則化。

這個新成果意義重大，體現了我國古代數學的極高成就。李振飛認為，“神禾原秦陵墓出土的涂色算籌將中國古代使用正負數概念進行運算的時間提早至戰國晚期，相比于《九章算術》中記載的“正負術”早了兩百余年，與國外最早由古印度數學家在公元7世紀提出的正、負數的四則運算法則相比早了八百余年。”

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